Задачи и структура решения задач
Разделы: Математика
Роль учителя математики. Умение решать задачи является одним из основных показателей математического развития, глубины усвоения учебного материала. Поэтому любая форма контроля знаний по математике содержит в качестве основной и наиболее трудной части – решение задач. Бывают случаи, когда ученик показывает хорошие знания в области теории, знает все необходимые определения и теоремы, но запутывается при решении несложной математической задачи или, прочитав задание, не знает, как применить свои теоретические знания на практике.
В чём причина затруднений при решении задач? Причин, конечно, много. Но самой важной из них является то, что одни учащиеся вникают в процесс решения задачи, стараются понять все возможные приёмы и методы её решения. А другие, не задумываясь, пытаются быстрее решить навязываемое им задание, не анализируя задачи и не выделяя из решений общие приёмы и методы. Цель у таких учащихся одна – получить ответ и как можно быстрее.
Не осознав, из чего складываются этапы решения даже простейших математических заданий, нельзя получить сознательные и прочные умения и навыки в решении задач. Невозможно перерешать на уроке все задачи, рассмотреть все возможные типы задач. Великие умы математики тратят на решение одной или некоторых задач всю свою жизнь. Есть случаи, когда учёные всего мира не могут в течение долгих лет найти решение задачи.
И здесь важна роль учителя, который научит особым подходам к решению задачи, поможет находить её суть, научит не бояться формулировок заданий. Учителю нужно набраться терпения и упорства в работе, чтобы увидеть результат своего труда: уверенность учащихся при встрече с незнакомой задачей и желание её решить.
Если учитель заполнит отведённое учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он постепенно убьёт их интерес к предмету, затормозит природные умственные способности отдельных детей. Но если он будет пробуждать любознательность детей, и своими наводящими вопросами помогать им решать задачи, то сможет привить им самостоятельное мышление и развить способности своих учеников. С течением времени, ненавязчиво ученик вдруг поймёт, что математическая задача бывает столь же увлекательна, как и компьютерные игры, и что умственная работа может быть столь же желанным занятием, как и занятия боевыми видами спорта. За всем этим стоит скрытая многолетняя работа грамотного педагога, любящего свой предмет.
Общие психолого-педагогические условия формирования умений и навыков. Психолог В.А. Крутецкий, изучавший математические способности, так характеризует различие между умениями и навыками и способностями: “При анализе способностей всегда имеют в виду качества, особенности человека, выполняющего ту или иную деятельность, а при анализе умений и навыков – качества, особенности деятельности, которую осуществляет человек”.
Понятно, что умения и навыки в решении задач – это личные, уже имеющиеся у ученика возможности в решении задач изученных видов, а способности в решении задач – это его потенциальные возможности. Они являются личностной характеристикой ученика. Формирование навыков и умений – очень сложный и длительный процесс.
Развитие общих умений решения математических задач. Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Мышление человека главным образом и состоит из постановки и решения задач. Особую роль играют задачи в обучении математике. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач. Таким образом, решение задач в обучении математике выступает и как цель и как средство обучения.
В последнее время с точки зрения психологов под функцией решения задач понимают “проектируемые учителем изменения в деятельности и психике учащихся, которые должны произойти в результате решения ими этих задач”. Конечно, в результате решения каждой задачи происходит не одно какое-то определенное изменение (например, приобретение умения решать задачи данного вида, развитие мышления, воображения), а различные изменения в знаниях, умениях, способностях, развития личности, мировоззрения.
Процесс решения математической задачи. Как только ребёнок приходит в школу, так сразу на первых уроках математики он учиться не только счёту, но и решать задачи и примеры. Примеры – это тоже задачи, только словесное их содержание – определить порядок действий, выполнить действия, найти результат – подразумевается. Решение задач – это работа нашего ума. А, чтобы выполнить правильно работу, сначала нужно изучить материал, с которым придётся работать и те инструменты, с помощью которых работа будет выполнена.
Что же такое задача? Каждая задача представляет собой требование или вопрос, на который необходимо найти ответ. При этом нужно опираться на те данные, что предложены в задаче. Поэтому, прежде чем решать задачу, надо её проанализировать.
Первый шаг – анализ. При анализе задачи формулировку расчленяют на условия и требования. Часто требования задачи формулируются в виде вопросов. А всякий вопрос предполагает нахождение на него ответа. Анализ задачи и вычленение условий и требований можно производить с разной глубиной. Глубина анализа зависит от того, насколько знакомы учащиеся с видом задачи и знакомы ли с общим способом решения таких задач. Если да, то достаточен простейший анализ, сводящийся к установлению вида данной задачи; если нет, то для нахождения решения задачи нужен более глубокий анализ. Для учащихся, прежде всего, должна быть понятна словесная формулировка задачи. Проверить это учитель до некоторой степени может, он просит повторить формулировку задачи. Ученик должен быть в состоянии указать главные элементы задачи – неизвестное, данное, условие. Таким образом, учитель редко может позволить себе обойтись без вопросов: “Что неизвестно? Что дано? В чём состоит условие?”
Анализ задачи заканчивается записью условия задачи и по необходимости изображением чертежа. Удобная, наглядная форма записи результатов анализа – это схематическая запись условия. В схематической записи фиксируется только то, что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, отбрасываются. На практике используется много видов схематической записи задач (табличная запись, схема движения, чертёж, словесная запись). Для схематической записи геометрических задач полезно использовать чертёж.
При построении чертежа необходимо напоминать учащимся о выполнении требований:
Выбор обозначений является одним из важных штрихов в решении задачи. К нему следует отнестись очень внимательно. Потраченное на выбор обозначений время с лихвой компенсируется тем временем, которое сэкономится, избежав путаницы в работе. Тщательно выбирая обозначения, легче разобраться в элементах задачи, которые подлежат обозначению.
Хорошая система обозначений должна удовлетворять следующим требованиям:
Для обозначения объектов одной категории пользуются буквами одного алфавита. Для обозначения объектов разных категорий пользуются буквами различных алфавитов. Для обозначения объектов разных категорий, имеющих существенную связь между собой, важную для задачи, пользуются соответствующими заглавными и маленькими буквами одного алфавита (А и а, В и b). Утвердившиеся обозначения имеют большие достоинства: используя их в ряде случаев при решении задач, они могут воскресить в памяти уже применяемые приёмы. Для выбора наиболее подходящего обозначения, так же как и при выборе подходящего слова, необходимы опыт и чувство меры.
Не для всякой задачи анализ заканчивается схематической записью или выполнением построения чертежа. Например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и не оформляется.
Второй шаг – поиск решения задачи. Путь от понимания постановки задачи до представления плана решения может быть долгим и извилистым. И действительно, главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно, или она может возникнуть вдруг, после, казалось бы, безуспешных попыток и сомнений. На данном этапе учитель может подсказать учащемуся идею. Чтобы понять учащегося, решающего задачу, учитель должен вспомнить свой собственный опыт, свои трудности и успехи в решении задач. Материалы, необходимые для решения задачи представляют собой крупицы прежде приобретённых математических знаний, таких, как решённые ранее задачи или доказанные теоремы. Поэтому оказывается уместным начать поиск решения с вопроса: “Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?”
Хорошо продуманные вопросы и советы педагога помогают правильно направить ход мыслей с самого начала, но они не в состоянии помочь всегда. Если они не помогают, то нужно продолжить поиск; видоизменять, преобразовывать, модифицировать задачу. Так шаг за шагом учитель подводит учеников к осуществлению плана решения данной задачи. План указывает лишь общие контуры решения. И нужно убедиться, что все детали вписываются в эти общие контуры, нужно терпеливо рассмотреть эти детали, одну за другой, пока всё станет совершенно ясным и не останется ни одного тёмного угла, скрывающего ошибку.
Третий шаг – осуществление плана. Если учащийся сам потрудился над составлением плана, пусть даже с некоторой помощью, и если он осознал окончательную идею, то ход решения задачи будет идти довольно гладко. И всё же учитель должен настаивать на проверке каждого шага при решении. В некоторых случаях важно указать учащимся на разницу между “увидеть” и “доказать”.
Учащийся осуществил своё решение, свой план. Он записал решение, проверяя каждый шаг. То есть он может считать это решение правильным. Но, тем не менее, ошибки всегда возможны, в особенности, если решение длинное и запутанное. Проверка его всегда желательна.
Четвёртый шаг – проверка. На данном этапе решения задачи одна из главных обязанностей учителя не создавать у учащихся впечатления, что математические задачи мало взаимосвязаны или не связаны вообще. Оглядываясь назад на ход решения задачи, предоставляется возможность исследования.
Приобретя опыт в решении задач, учащиеся воспримут и идеи:
Убедившись в правильности решения, необходимо чётко сформулировать ответ задачи.
Все этапы пронизаны вопросами и советами учителя.
Искусство ставить вопросы заключается в следующем: начинать нужно с общего вопроса, затем ставить частные и конкретные вопросы и советы, пока не будет найден вопрос, соответствующий уровню развития обучающихся. Очень важно, чтобы исходные советы были простые, естественные, ни в коем случае ненавязчивые. Советы должны быть общими, применимыми не только к данной задаче, но и к последующим, если они имеют цель развить способности учащихся, а не только выработать технический навык. Вопросы должны повторяться часто и в разнообразных ситуациях, тогда они будут усвоены учащимися и обратятся в привычную функцию ума. Основные вопросы к задачам, которые будут предложены на уроке, учитель продумывает заранее, видоизменяя их по ходу решения задач. И учитель должен применять такие вопросы, которые могли бы прийти в голову и самим учащимся. Вопросы и советы – это костяк процесса обучения решению задач.
Требования к вопросам и советам:
Знаменитый древнегреческий учёный Аристотель вопрос трактует как мыслительную форму, обеспечивающую переход от незнания к знанию. Действительно, процесс рационального восприятия информации начинается с осознания познавательной цели. А для этого необходимо поставить вопрос: “Чего я хочу достичь?” — и, конечно, дать на него ответ. Концентрация внимания на том или ином понятии тоже требует умения задавать цепочку вопросов, позволяющих рассмотреть его со всех сторон, изучить его во взаимосвязях с ранее изученным, отделить существенную информацию от несущественной. Любая система вопросов регулирует деятельность учеников, направляет её в необходимое русло. Чаще всего вопросы учителя подсказывают лишь область поиска решения.
Любое исследование, любое творчество начинается с постановки проблемы, т.е. с умения задать вопрос. Хороший вопрос, как считает психолог И. Лернер, помогает совершенно по-новому увидеть существо дела и искать ответ новыми путями, о которых раньше никто не думал. В диалоге с учителем урок проходит непринуждённо. И неважно, какой предмет: технический или гуманитарный, ведёт учитель. Важна та атмосфера, которая создаётся в результате общения более опытного человека с теми, кто хочет постичь новое, с теми, кто хочет подняться до уровня своего наставника и воплотить идеи Учителя в дальнейших жизненных поисках, при решении как учебных, так и задач, которые ставит жизнь.
Схема структуры процесса решения задачи (Приложение 1). Схема представлена в виде “лестницы”: каждая ступенька — это последующий шаг при решении задачи. Двигаясь, не перепрыгивая через ступеньки, можно дойти до “вершины”. Способность человека быть творцом (в том числе и в области математики) воспитывается прежде всего в школе на уроке. Уже простое самостоятельное решение задач по математике – работа творческая, но это лишь начальная ступень развития творческих сил и способностей человека. “Вершина”, достигнутая при решении задач, — это и есть фундамент для творчества детей. Дальнейшие шаги по этому пути – это умение самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу, пусть вначале и не очень трудную. Большинство заданий математики принадлежит к “математическим гаммам”, способствующим развитию математического мышления и творчества.
Творчество детей – результат плодотворного труда учителя. “А можно ли научиться решать любые задачи?” — может спросить учителя любознательный ученик или неопытный первоклассник. Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ведь как бы хорошо не научился их решать ученик, всегда встретится такая задача, которую он не сможет решить. Как показывает история, основополагающие открытия гениальных математиков опирались на результаты трудов многих их предшественников, рассмотревших частные случаи в той или иной области математики.
Умение решать задачи есть искусство, приобретённое практикой. Каждый человек овладевает мастерством, сначала подражая, а в дальнейшем учитывает при решении свой собственный опыт. Учась мастерству решения задач, мы наблюдаем и подражаем другим в том, как они это делают. И, наконец, овладеваем искусством решения при помощи упражнений.
Учитель, стремящийся развить способности учеников, должен пробудить в них интерес к задачам и обеспечить им широкие возможности для подражания и приобретения опыта. Целенаправленную работу на развитие творческих способностей детей необходимо вести с первых же уроков математики. Это и использование разнообразных форм проведения уроков, и насыщенная внеурочная работа, и различные творческие задания, ориентированные на показ учащимися отработанных навыков и умений. Начинать нужно с самого простого. Эти первые шажки к безграничному творчеству и фантазии дети сделают по твёрдой опоре, которую своим ежедневным, ежеурочным, кропотливым трудом, незаметно укрепит в душах и мыслях детей Учитель, любящей свою работу, уважающий результаты своего труда.
Требования к условиям решения той или иной задачи это
Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.
Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.
Начнем все это изучать.
Итак, что же такое задача?
Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.
Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи. Вот и начнем учиться производить анализ задачи.
I .1.2. Условия и требования задачи
Получив задачу, мы, естественно, ее внимательно читаем.
3адача 1. В прямоугольном, треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
Первое, что мы можем заметить при чтении этой задачи, состоит в следующем: в ней имеются определенные утверждения и требования. В ней утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно найти катеты треугольника.
Часто требование задачи формулируется в виде вопроса. Но всякий вопрос предполагает требование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием.
Как видим, формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи.
Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи,- это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (т.е. нерасчленимых дальше) условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования.
В задаче 1 можно вычленить такие элементарные условия:
1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;
2) в этот треугольник вписана окружность;
З) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;
4) длина одного из этих отрезков равна 5 см;
5) длина другого отрезка равна 12 см.
Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных:
1) найти длину одного катета треугольника;
2) найти длину другого катета треугольника.
Расчленение формулировки задачи на условия и требования не всегда легко произвести. В ряде случаев для этого нужно переосмыслить задачу, переформулировать ее. Например.
Задача 2. Сколько цифр содержит число 2 100 (в десятичной системе счисления)?
Формулировка этой задачи состоит из одного вопроса. Но, вдумавшись в этот вопрос, мы можем из него вычленить такие условия:
1) 2 100 есть натуральное число;
2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа в десятичной системе счисления.
Тогда требование этой задачи состоит в следующем: найти, сколько цифр содержит запись этого многозначного числа.
Задача 3. Решить уравнение ax 2 — x 3 + a 2 x — a = 0
Формулировка этой задачи состоит из одного требования. Но анализ этого требования позволяет вычленить из него условие и собственно требование. Условие: ax 2 — x 3 + a 2 x — a =0 есть уравнение, а требование: решить это уравнение.
Конечно, на этом нельзя остановиться и надо продолжить анализ. Мы замечаем, что запись уравнения содержит две буквы: а и х. Предполагается, конечно, что вы знаете, что эти буквы обозначают: буква а- параметр, т. е. величину, которая в пределах данной задачи рассматривается как постоянная; х- переменную, область изменения которой есть множество чисел, например действительных (обычно в задаче это как-то оговаривается). Кроме того, полезно вспомнить, что означает уравнение. Тогда условия этой задачи таковы:
1) а- есть параметр;
2) х- переменная, область изменения которой есть множество действительных чисел;
3) ax 2 — x 3 + a 2 x — a =0 есть высказывание с переменной х.
Требование этой задачи тогда можно так сформулировать: найти все такие значения переменной х из области ее изменения, при которых указанное высказывание становится истинным.
Анализ задачи можно продолжить еще дальше. Можно спросить: что значит найти значения переменной х при данных условиях? Найдя ответ на этот вопрос, тем самым уточним требование задачи. Оно примет такой вид: найти такие выражения х от а, которые, будучи подставлены в заданное высказывание с переменной вместо х, обращают его в истинное высказывание при всех допустимых значениях параметра а.
Как видим, анализ задачи и вычленение ее условий, и требований можно производить с разной глубиной. Глубина анализа зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знакомы ли с общим способом решения этих задач. Если да, то нам достаточен простейший анализ, сводящийся к установлению вида данной задачи; если нет, то для нахождения решения задачи нужен более глубокий анализ.
I .1.3. Как устроены условия задачи?
Для некоторых более сложных задач рассмотренный выше анализ (расчленение задачи на отдельные условия и требования) целесообразно продолжить. А именно установить, как устроены (из чего состоят) вычлененные условия.
3адача 4. К двум окружностям, радиусы которых 4 см и 6 см, проведены внутренние общие касательные оказавшиеся взаимно перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами окружностей.
Эта задача содержит такие условия:
1) дана окружность с центром О1 , радиус которой равен 4 см (здесь слово означает, что эта окружность построена из произвольного центра О1 );
2) из некоторого другого центра О2 проведена окружность радиуса 6 см;
3) эти две окружности построены так, что к ним можно провести общие внутренние касательные;
4) общие внутренние касательные к этим двум окружностям взаимно перпендикулярны.
Анализируя эти условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Так, объектом первого условия является окружность, а ее характеристикой; радиус этой окружности равен 4 см. Во втором условии объектом является также окружность с характеристикой: ее радиус равен 6 см. В третьем условии два объекта: указанные выше две окружности, а характеристикой является их взаимное расположение на плоскости: они расположены так, что к ним можно провести внутренние общие касательные. Наконец, четвертое условие содержит два объекта: общие внутренние касательные к окружностям, в качестве характеристики указано их отношение: они взаимно перпендикулярны.
Итак, мы видим, что в каждом условии задачи имеется один или два (в некоторых случаях больше) объекта; если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов.
Довольно часто анализ задачи (ее расчленение на условия и требования, выделение в условиях объектов и их характеристик) сопряжен с большими трудностями. Приведем пример.
3адача 5. Две окружности взаимно касаются в точке X и касаются одной и той же прямой соответственно в точках A и B. Какую фигуру образует множество всех точек X, если радиусы данных окружностей будут принимать всевозможные значения?
На первый взгляд кажется, что в задаче речь идет о двух окружностях. Но прочтите еще раз внимательно вопрос задачи: требуется установить, какую фигуру образуют точки X (точка X- переменная). Значит, речь идет о множествах окружностей и множестве точек их касания. Исходя из этого, задачу можно расчленить на такие условия:
1. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой в данной на ней точке A.
Здесь объектом является множество окружностей, а их характеристикой — свойство каждой окружности этого множества: она касается данной прямой в точке A.
2. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой (с той же стороны, что и первое множество окружностей) в данной точке B.
Объект и характеристика этого условия аналогичны первому условию.
3. Из этих двух множеств образованы такие пары окружностей, причем, первый элемент пары есть окружность первого множества, а второй элемент пары — окружность второго множества, которые взаимно касаются.
Объектом этого условия является множество пар окружностей, а их характеристикой — отношение: окружности, входящие в пару, взаимно касаются.
Заметим, что в это множество пар окружностей войдут не все окружности первого и второго множеств окружностей, а лишь те из них, которые удовлетворяют указанному отношению (взаимное касание).
4. X- есть точка, в которой взаимно касаются соответствующие окружности, входящие в образованные пары (по третьему условию). Объектом этого условия является точка X (переменная точка), а ее характеристикой — свойство: эта точка есть точка касания окружностей, входящих в пару.
5. Множество точек X есть некоторая геометрическая фигура. Объектом условия является множество точек X взаимного касания окружностей, входящих в пары, а характеристикой — искомое свойство этого множества как геометрической фигуры.
Требование задачи состоит как раз в том, чтобы найти эту последнюю характеристику объекта пятого условия.
Некоторые из вас могут усомниться: нужен ли такой анализ для решения задачи? Ведь обычно, решая задачи, мы, мол, не производим такой анализ. Но это вам только кажется, что вы, решая задачи, не производите такого анализа. Вы просто не замечаете этого, ибо обычно такой анализ производится устно по ходу решения и притом этот анализ мы большей частью не осознаем. Но мы его производим, ибо без него решить задачу невозможно!
I .1.4. Схематическая запись задач
Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Та словесная, описательная форма записи, которую мы использовали выше, конечно, мало удобна. Надо найти более удобную, более компактную и в то же время достаточно наглядную форму записи результатов анализа задач. Такой формой является схематическая запись задачи.
Заметим, что не для всякой задачи надо делать схематическую запись. Так, например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и никак не оформляется. Вообще для задач, которые записаны на символическом языке (с помощью общепринятых обозначений и символов) схематическая запись не нужна.
Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т.д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то, что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются.
На практике используется много разных видов схематической записи задач. Покажем на примерах.
3адача 6. С одного участка собрали 1440 ц пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 га меньше, — 1080 ц. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.
Анализ задачи показывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, при этом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы, площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицу для схематической записи условий и требований задачи, в которой две строки (первый и второй участки) и три столбца (общая масса собранной пшеницы, урожай с 1 га, площадь участка). Неизвестные величины, встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначим буквой 
:
Масса собранной пшеницы в ц
Урожай с 1 га в ц
Площадь участка в га
В этой схематической записи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требование задачи: найти (искомую площадь первого участка). В то же время эта запись очень компактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи.
3адача 7. Составить уравнение, корни которого были бы соответственно равны квадратам корней уравнения 2х 2 — 5x +1 = 0
Вычленим сначала требование задачи: составить уравнение. Какое уравнение нужно составить? В задаче сказано, что нужно составить уравнение, корни которого равны соответственно квадратам корней заданного уравнения, а последнее есть квадратное. Оно имеет два корня (каких — это в данном случае несущественно). Поэтому и искомое уравнение должно иметь два корня. Простейшее уравнение, имеющее два корня,- это квадратное. Следовательно, можно считать, что искомое уравнение — это квадратное.
А что значит составить квадратное уравнение? Очевидно, что это значит найти его коэффициенты. Обозначим их буквами a, b и c, а переменную искомого уравнения буквой y; с тем чтобы отличить это уравнение от данного.
Теперь мы можем сделать схематическую запись задачи в таком виде:
1) корни уравнения 2х 2 — 5x +1 = 0 есть x1 и x2,
2) корни уравнения ay 2 — by +c = 0 есть y1 и y2,
I .1.6. Практические и математические задачи
Задачи, которые вы решаете в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других — все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.). Первые задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет. Называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными); вторые, все объекты которых математические, называются .математическими задачами.
Приведем пример практической задачи.
3адача 8. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
Объектами этой задачи являются вполне реальные предметы: проволока, столб, дом. Поэтому это практическая задача. Чтобы ее решить с помощью математики, надо построить соответствующую ей математическую задачу, которая получается путем отвлечения от конкретных особенностей реальных предметов и заменой их математическими объектами. В данном случае проволоку, столб и дом (точнее, стену дома) можно рассматривать как отрезки. Считая, что поверхность земли есть прямая, а отрезки, изображающие столб и дом, перпендикулярны к этой прямой, получаем такую математическую задачу.
3адача 9. Отрезки длиной 8 м и 20 м перпендикулярны к прямой, соединяющей их концы и расположены по одну сторону от этой прямой. Отрезок, соединяющий другие концы этих отрезков, имеет длину 15 м. Найти расстояние между первыми двумя отрезками.
Заметим, что в курсе математики решаются лишь такие практические задачи, которые сводимы к математическим. Решение же математических задач и сводимых к ним практических рассмотрим ниже.
I .2. Сущность и структура решения математических задач
I .2.1. Структура процесса решения задач
Когда в предыдущем разделе мы выписывали решения задач, то эти записи представляли собой лишь изложения самого решения. Но как эти решения были найдены, как убедились, что они правильные, — обо всем этом ничего не было сказано. Если под процессом решения задач понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.
Из каких же этапов состоит процесс решения задачи? Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать, это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.
В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как вы знаете, используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.
Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.
Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, — это будет уже четвертый этап процесса решения — этап осуществления (изложения) решения.
После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.
При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и при том сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Все это составляет шестой этап процесса решения.
Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи,- это будет седьмой этап процесса решения.
Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.
Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
l-й этап — анализ задачи;
2-й этап — схематическая запись задачи;
3-й этап — поиск способа решения задачи;
4-й этап — осуществление решения задачи;
5-й этап — проверка решения задачи;
6-й этап — исследование задачи;
7-й этап — формулирование ответа задачи;
8-й этап — анализ решения задачи.
Приведенная выше схема процесса решения задач является лишь примерной. При фактическом решении указанные там этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Так в процессе анализа задачи обычно производится и поиск решения. При этом полный план решения устанавливается не до осуществления решения, а в его процессе. Тогда поиск решения ограничивается лишь нахождением идеи решения. Порядок этапов также иногда может меняться.
Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они имеются (в том или ином виде) в процессе решения любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска способа ее решения, осуществления решения, проверки решения и формулирования ответа. Остальные три этапа (схематическая запись задачи, исследование задачи и заключительный анализ решения) являются не обязательными и в процессе решения многих задач не имеются.
Анализ задачи, т.е., выяснение характера задачи, ее вида, установление ее условий и требований (конечно не всегда в полном объеме), мы производим в процессе решения любой, даже самой простейшей задачи. Когда мы читаем, например, такую задачу: Решить уравнение 2х 2 — 5x +1 = 0 — и говорим: , то уже тем самым мы произвели анализ этой задачи. Конечно, это самый простейший анализ, состоящий в установлении вида задачи, но в данном случае он вполне достаточен. Для других, более сложных задач понадобится и более развернутый, более многоплановый и сложный анализ. Заметим, что при решении особо сложных задач анализ приходится производить не один раз, при первичном чтении задачи, а многократно, при каждой новой попытке решения (а их может быть несколько), в процессе самого решения, при переходе к каждому очередному шагу решения.
Точно так же поиск способа решения производится в процессе решения любой задачи. Даже в указанной выше задаче, после того как установили, что это есть квадратное уравнение, обычно говорим (вслух или мысленно): Для его решения используем формулу корней приведенного квадратного уравнения>. Этим самым мы и произвели поиск способа решения. При решении более сложных задач поиск способа решения является самым трудным и основным этапом решения. Он может занимать и по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз. Когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности, то приходится снова возвращаться к этапу поиска решения и искать другой способ решения. И так зачастую приходится делать много раз. Тут нужно, конечно, упорство, но еще важней каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу задачи, производить его еще раз более внимательно и искать причины этих неудач.
Что касается этапа осуществления решения, то очевидно, что без него и нет самого решения.
Сложнее с этапом проверки решения. Большей частью проверка решения производится попутно по мере осуществления решения, и, как правило, она производится устно. В этом случае эта проверка является формой самоконтроля за своими действиями. При этом часто мы даже не осознаем, что производим проверку самоконтроль. Но это тогда, когда имеется прочная привычка к такому самоконтролю и хороший навык к тому. Тем же из вас, кто такой привычкой и навыком не обладает, советуем производить проверку каждый раз, с тем чтобы в конечном итоге приобрести такой навык.
Формулирование ответа не всегда выделяется в особый этап, но, если ответ особо не выписывается, надо все же его как-то выделить (например, путем подчеркивания).
Хотя этап схематической записи является и не обязательным, но мы советуем им не пренебрегать. Схематическая запись служит очень хорошей формой, организующей и глубокий и планомерный анализ задачи, и поэтому этот этап всегда сливается с анализом задачи. Схематическая запись, кроме того, облегчает само решение, ибо, опираясь, на эту запись, легче и проще оформить решение.
Что касается анализа решения, то следует учесть, что решение школьных задач является не самоцелью, а средством обучения. Поэтому обсуждение проделанного решения, выявление его недостатков, поиск других способов, установление и закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы в данном решении, выявление условий возможности применения этих приемов — все это как раз и будет способствовать превращению решения задач в могучее обучающее средство.
При анализе решения полезно устанавливать возможность обобщения данной задачи, выявлять ее особенности, сопоставлять решение данной задачи с ранее решенными и т.д.
Если вы хотите по-настоящему научиться решать задачи, то анализируйте решение каждой мало-мальски новой и более или менее сложной задачи. Не жалейте на это времени и сил: все это в будущем окупится.
В заключение обращаем ваше внимание на некоторую особенность использования термина . Дело в том, что этим термином обозначаются два связанных между собой, но все же неодинаковых понятия. Когда мы говорим: , то здесь под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до конца. Когда же мы говорим: или , , то здесь под решением задачи понимаются лишь те действия, которые мы производим над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи. Было бы, пожалуй, целесообразно как-то различать эти два аспекта понятия (например, второй называть ), но обычно это не делают, а из самого контекста ясно, о каком аспекте идет речь . Это следует вам иметь в виду при чтении данной книги.
Заметим, что иногда термин используется ещё и в третьем аспекте, а именно в смысле результата (ответа) задачи. Например, когда говорят: или , то как раз имеют в виду этот аспект термина .
1.2.2. Процесс решения задачи
I.3. Нестандартные задачи и их решение
В определении стандартных задач в качестве основного признака этих задач указано наличие в курсе математики таких общих правил или положений, которые однозначно определяют программу решения этих задач и выполнение каждого шага этой программы.
Отсюда понятно, что нестандартные задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.
Рассмотрим примеры решения таких задач, с тем чтобы выяснить особенности процесса их решения.
3адача 10. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы первоначально?
Решение. Эта задача является практической (текстовой). Для подобных задач никакого общего правила определяющего точную программу их решения, не существует. Однако это не значит, что вообще нет каких-то общих указаний для решения таких задач. Подробно сущность этих указаний мы рассмотрим в следующей главе. А пока лишь покажем, как эти указания практически используются.
Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через х км/ч. Тогда за 6 ч, за которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли 6 х км. Фактически этот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью, а затем еще 4,5 ч (ибо они опоздали на 0,5 ч к сроку) — с уменьшенной скоростью (x — 0,5) км/ч. Следовательно, они прошли 2х км и 4,5(x -0,5) км, а всего 2х +4,5(x-0,5)км, что равно расстоянию от реки до турбазы, т.е. 6 х км. Получаем уравнение: 2х + 4,5(x -0,5) = 6x.
Решив это уравнение, найдем: x = 4,5.
Значит, первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч. Проанализируем процесс приведенного решения задачи 25. Сначала мы определили вид задачи , и, исходя из этого, возникла идея решения . Для этого, пользуясь весьма общими указаниями и образцами решения подобных задач, полученных в школьном курсе математики (надо обозначить одно из неизвестных буквой, например х , и выразить остальные неизвестные через х , затем составить равенство из полученных выражений), мы построили уравнение. Заметим, что эти указания, которыми мы пользовались, не являются правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х , как выразить остальные неизвестные через х , как получить нужное равенство и т.д. Все это делается каждый раз по-своему, исходя из условий задачи и приобретенного опыта решения подобных задач.
Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу. Решив ее, мы тем самым решили и исходную нестандартную задачу.
Таким образом, смысл процесса решения данной задачи состоит в том, что с помощью особого приема (составления уравнения) мы свели ее решение к решению эквивалентной стандартной задачи.
I.4. Поиск плана решения математических задач
I.4.1. Распознавание вида задачи
Когда приступаем к решению какой-либо задачи, то первое, что хочется, естественно, узнать, — это: что это за задача? Какого она вида, типа? Иными словами, нужно распознать вид данной задачи.
Если мы сумеем это сделать, установим, к какому виду задач она принадлежит, то тем самым сделаем первый, очень важный шаг в поисках плана ее решения. Ведь, зная вид задачи, в большинстве случаев получаем и способ ее решения, ибо в курсе математики для многих видов задач имеются общие правила их решения.
Как же распознать вид задачи?
Для этого, очевидно, нужно знать основные виды математических задач и их признаки.
Первым признаком, по которому все математические задачи делятся на отдельные виды или классы, является характер требования задачи. По этому признаку все задачи делятся на три основных класса.
1-й класс. Задачи на нахождение искомого
В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы найти, разыскать, распознать какое-то и искомое. При этом искомым могут быть величина, отношение, какой-либо объект, предмет, его положение или форма и т.д.
Очевидными примерами задач этого класса являются задачи на вычисление различных выражений, значений функций, задачи на установление характера функции и т.д.
К ним же относятся геометрические вычислительные задачи, где нужно найти длину отрезка, величину угла, площадь фигуры, объем тела и т.п.
Многочисленные задачи на решение различных уравнений, систем уравнений, неравенств и их систем также принадлежат к этому классу задач, ибо в каждой из них нужно найти значения некоторых переменных, удовлетворяющих определенным условиям.
Задачи, в которых нужно установить вид заданных выражений, чисел, форму заданной геометрической фигуры или тела, -это опять-таки задачи рассматриваемого класса.
Как видим, этот класс задач чрезвычайно многочисленный и разнообразный. Поэтому, естественно, для решения задач этого класса нет какого-либо общего метода. Но все же знание, что данная задача принадлежит к рассматриваемому классу, сужает область поисков плана решения и служит ориентиром в этих поисках. Можно даже высказать такую весьма общую рекомендацию: если вы установили, что данная задача есть задача нахождения искомого, и вы не смогли найти более простого решения, то сведение данной задачи к какому-либо известному виду уравнений, неравенств или систем всегда приведет к решению этой задачи.
2-й класс. Задачи на доказательство или объяснение
В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы убедиться в справедливости некоторого утверждения, или проверить верность или ложность этого утверждения, или, наконец, объяснить, почему имеет место то или иное явление, тот или иной факт.
Все задачи, требование которых начинается со слов » почему?» или содержащие вопрос , обычно относятся к этому классу задач.
3-й класс. Задачи на преобразование или построение
К этому классу относятся задачи, в которых требуется преобразовать какое-либо выражение, упростить его, представить в другом биде, построить что-либо (например, геометрическую фигуру или выражение), удовлетворяющее указанным условиям.
Класс этих задач также весьма многочисленный и разнообразный. Характерной особенностью задач этого класса является то, что в каждой из них заданы какие-то объекты (элементы, выражения), из которых требуется создать, построить, сконструировать другой какой-то объект с заранее известными свойствами.
Например, задано выражение и из него нужно получить (построить) другое выражение, обладающее какими-то особенностями (скажем, тождественно равное данному, но записанное в стандартном виде и т.д.). Или заданы элементы геометрических фигур и из них (с помощью определенных инструментов) нужно построить сами эти фигуры и пр.
Для того чтобы установить вид задачи, особое внимание следует уделить анализу требования (вопроса) задачи. Иногда в самом требовании указан вид задачи, например: решите квадратное уравнение 2х 2 — 5x +1 = 0>. Но большей частью вид задачи в требовании прямо не указан и лишь анализ этого требования может помочь определить вид задачи.
Так, в задаче: 2 — 5x с осью абсцисс> — требование не содержит прямого указания на вид этой задачи. Но если мы внимательно проанализируем это требование (найти точки пересечения графика функции, т.е. кривой, с осью абсцисс), то легко поймем, что имеем дело с той же задачей решения квадратного уравнения.
Конечно, в ряде случаев распознавание вида задачи представляет собой довольно сложное дело. Приведем пример.
3адача 11. Сколько центров гомотетии имеют два равных круга?
На первый взгляд кажется, что эта задача какого-то вида на нахождение искомого. К такому выводу нас наталкивает вопрос: «сколько?» значит, надо что-то найти. Но не следует спешить, вдумаемся в требование задачи. Нужно найти число центров гомотетии двух равных кругов. Следовательно, эти два равных круга даны и их надо рассматривать как гомотетичные фигуры, а требуется найти центры гомотетии, только тогда мы сможем пересчитать их и установить, сколько их. А что значит найти центры гoмотетии? Это значит по данным гомотетичным фигурам построить их центр гомотетии. Значит, данная задача фактически является задачей на построение, притом весьма своеобразной, ибо по заданным геометрическим фигурам, которые гомотетичны, необходимо построить (восстановить) их центр гомотетии. Подсчет же числа этих центров (после их построения) уже задачи не представляет.
Итак, анализ требования задачи для распознавания ее вида связан с переформулированием этого требования, с заменой его другим, знакомым, но, конечно, эквивалентным первоначальному.
Что дает нам распознавание вида задачи?
Очень многое. Ведь для большинства видов в школьном курсе математики вы изучали методы решения этих задач, и, следовательно, установив принадлежность данной задачи к определенному виду, тем самым получаем готовый план ее решения: применить известный метод решения подобных задач.
Конечно, вам встретятся задачи, определить вид которых вы не сумеете или это будет такой вид, для которого вам неизвестен общий метод решения. Что ж, тогда надо будет использовать другие приемы (например, разбиение на подзадачи известного вида и др.)
I.4.2. Поиск плана решения задачи путем сведения к ранее решенным задачам
Известный советский математик, профессор московского университета Софья Александровна Яновская (1896-1966) однажды выступила перед участниками математических олимпиад с лекцией . Ее ответ оказался поразительно простым, но несколько неожиданным для слушателей: .
Для вас этот ответ С.А. Яновской не должен быть неожиданным. Ведь в предыдущей главе мы уже говорили, что решение нестандартных задач, а именно их, конечно, имела в виду С.А. Яновская, состоит в сведении их путем преобразования или переформулирования к стандартным задачам или же в разбиении их на стандартные подзадачи, что также означает сведение к стандартным задачам. А что значит свести решение нестандартной задачи к решению стандартных задач? Это и означает, что мы сводим решение данной (незнакомой) задачи к ранее решенным задачам, ибо стандартные задачи можно рассматривать как такие, которые каждый из вас уже умеет решать и не однажды решал.
Когда мы приступаем к решению какой-либо задачи и в результате ее анализа не сумеем распознать в ней знакомый вид, иными словами, обнаружим, что данная задача принадлежит к незнакомому нам виду, для которого нам неизвестен общий метод решения, то что нам остается делать? Только попытаться свести к знакомым, ранее решенным задачам (с помощью преобразования, переформулирования и др.). Это-то и рекомендовала делать С.А. Яновская.
I.4.3. Моделирование в процессах решения задач
Психология уже свыше ста лет занимается исследованием процессов решения задач человеком. В результате этих исследований открыто много интересных закономерностей и найдены важные характеристики процессов решения задач. Особый интерес представляет общая характеристика этого процесса, данная известным советским психологом Сергеем Леонидовичем Рубинштейном (1889-1960) .Он характеризовал решение задач человеком как процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их соотнесения.
Действительно, выше вы неоднократно наблюдали это переформулирование задач, их преобразование в процессе анализа и поисков решения. Мы уже не раз отмечали эту характерную особенность процессов решения, однако, пожалуй, стоит ее рассмотреть более подробно. Ведь одного указания на эту особенность процесса решения задач, указания на анализ и синтез как средства переформулирования и решения недостаточно для того, чтобы сознательно использовать их для решения задач. Естественно возникают вопросы: а в чем состоит это переформулирование? Что мы делаем с задачей, когда ее переформулируем? Что получаем? Какими средствами производится переформулирование?
Чтобы разобраться во всех этих вопросах, рассмотрим пример переформулирования задач в процессе анализа и решения.
Задача 12. Некоторая коллекция значков была размещена в коробках, каждая из которых имела 10 отделений. В некоторые отделения коробок были положены значки, по одному в отделение, другие отделения были еще пустые. Любые две коробки этой коллекции отличались друг от друга хотя бы наличием или отсутствием значков в одном и том же отделении. Очевидно, что наибольшее число значков в коробке равно 10, а наименьшее — нуль (коробка пустая). Сколько коробок в этой коллекции?
Эта задача, конечно, носит несколько необычный характер. Но вот подобная ей задача, имеющая уже более реальный характер, полученная из задачи 23 с помощью такого переформулирования: каждому отделению коробки поставим в соответствие электрическую лампочку, тогда наличию или отсутствию в нем значка соответствует одно из возможных состояний лампочки (горит или не горит). В результате получаем такую задачу.
3адача 13. В квартире 10 лампочек. Сколько существует различных способов освещения квартиры? Два способа освещения считаются различными, если они отличаются состоянием хотя бы одной лампочки. Каждая лампочка может гореть и не гореть. Случай, когда все лампочки не горят — это тоже способ освещения.
Хотя эта задача более реальная и явление, в ней описанное, более наглядное, но и ее решение не очевидно.
Чтобы легче подсчитать все различные способы освещения квартиры (или число коробок), изобразим каждую лампочку (каждое отделение) в виде квадрата, а ее состояние будем отмечать знаком , если лампочка горит (значок имеется), и знаком в противном случае. Тогда каждому способу освещения квартиры (каждой коробке) будет соответствовать строка из десяти квадратиков со знаком или . Число же таких строк в таблице и есть искомое число различных способов освещения квартиры (число коробок).
Получаем такую задачу.
3адача 14. Имеется прямоугольная таблица, содержащая 01 столбцов. В каждой клеточке этой таблицы поставлен знак или . Любые две строки таблицы отличаются знаком в клеточках, стоящих хотя бы в одном и том же столбце. Какое наибольшее число строк имеет эта таблица?
Если решение и этой задачи вам не очевидно, то можно построить еще более прозрачную задачу следующим образом. Будем рассматривать каждую строку таблицы, о которой идет речь в предыдущей задаче, как десятизначное число, составленное из цифр 1 и 0 (цифра 1 соответствует, знаку в клеточке, а цифра 0 — знаку ). Тогда задача 14 переформулируется в такую.
3адача 15. Сколько различных десятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1? При этом числа, в записи которых стоят слева одни нули (например, 0100001101, или 000000001, или даже 0000000000), также рассматриваются.
Решение этой последней задачи уже очевидно. На каждом месте в записи десятизначного числа могут стоять лишь цифры 1 или 0. Поэтому имеется всего лишь две комбинации цифр на каждом месте. Эти комбинации независимы друг от друга, ибо проставление цифры на данном месте в записи числа не зависит от того, какие цифры стоят на других местах. Поэтому общее число комбинаций или возможных десятизначных различных чисел равно 2 10 .
Итак, общее число коробок из задачи 12, число способов освещения квартиры из задачи 13, число строк в таблице из задачи 14 и число десятизначных чисел из задачи 15 равно 1024.
Задачи 13-15 были получены из задачи 12 с помощью ее переформулирования. Чем же они являются для нее?
Оказывается, что все они являются ее моделями, следовательно, переформулирование задачи 12 явилось способом ее моделирования, построения ее моделей.
Что такое модель и моделирование?
В науке широко используется метод моделирования. Заключается он в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.
Пример. Люди издавна интересуются, как устроена наша Вселенная. Этот интерес не только чисто познавательный, но и сугубо практический, ибо люди хотели научиться предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как затмения Солнца и Луны, наступление времен года и т.д. Для решения этих задач ученые строили свои представления о Вселенной в виде схемы — картины мира, в которой объекты Вселенной — Солнце и звезды, планеты, Земля и Луна изображались точками, движущимися по каким-то кривым — траекториям их движения. Таковы, например, схемы, построенные Птолемеем, в которых центральное место занимала наша Земля, или схема Коперника, в которой центр занимало Солнце. С помощью этих схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономических явлений.
Эти схемы, эти картины мира суть модели Вселенной, а метод исследования Вселенной, нахождения законов о Вселенной и решения задач, связанных с нею, с помощью этих моделей является методом моделирования.
Другой пример. Люди издавна интересуются, как они сами устроены, как функционирует человеческий организм. Но исследовать эти вопросы на живом человеческом организме очень трудно, ибо такое изучение до появления особых при боров было связано с гибелью этого организма. Тогда ученые стали исследовать устройство человеческого организма на подобных ему организмах животных (обезьян, собак и пр.). Изучение организма животных, их функционирования помогло установить многие важнейшие закономерности функционирования человеческого организма. Вспомните, к примеру, знаменитые исследования П. Павлова на собаках. В этих исследованиях животные организмы выступали в качестве моделей человеческого организма, а применяемый при этом метод исследования есть метод моделирования.
Еще пример. Разрезая конус плоскостями, получаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы. Математики еще в древности начали изучение этих кривых, результаты которых имеют большое значение для физики, астрономии, техники, военного дела, где очень часто встречаются эти кривые. Однако лишь тогда, когда, пользуясь методом Декapтa и Ферма, были составлены уравнения этих, кривых, их изучение сразу резко подвинулось вперед и с помощью этих уравнений — моделей кривых конических сечений — были решены все основные задачи, с ними связанные. Заметим, что уравнения выступают в качестве моделей окружности, эллипса, параболы и гиперболы, а эти кривые в свою очередь можно рассматривать как геометрические модели указанных уравнений.
Теперь должно быть вам ясно, что рассмотренные выше задачи 13-15 являются моделями задачи 12, а переформулирование задачи 12 последовательно в задачи 13-15 является способом построения моделей этой задачи, т.е. способом ее моделирования. Можно сказать, что мы осуществили решение задачи 12 методом ее моделирования.
Вспоминая, как мы решали задачи, как искали их решения; можно установить, что в процессах решения многих задач мы широко использовали моделирование этих задач.
В заключении сформулируем основные рекомендации для поиска решения математических задач.
1. Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит.
2. Если вы узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то примените для ее решения известное вам общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:
а) вычленять из задачи или разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
б) ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных элементов);
в) переформулировать ее, заменить ее другой равносильной задачей (способ моделирования).
4. Для того чтобы легче было осуществлять указанные способы, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи — ее схематическую запись.
5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.
Помните, что решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения есть процесс изобретательства.